Навчальний посібник для студентів вищих закладів освіти, що навчаються у галузі соціальних та поведінкових наук а також у інших нематематичних галузях. Викладено основні поняття та методи базових розділів вищої математики, необхідні для математичного моделювання та аналізу соціальних та інших процесів. Рекомендована для вивчення дисципліни "Математичні основи аналізу соціальних процесів".

                                             Зміст

1. Вступ до математичного аналізу. ............................................................. 11

1.1. Множини. ............................................................................................. 11

1.1.1. Поняття множини. ........................................................................ 11

1.1.2. Дії над множинами. ...................................................................... 13

1.1.3. Числові множини. ......................................................................... 20

1.1.4. Функція як відображення числових множин ............................. 25

1.1.5. Нечіткі множини. .......................................................................... 32

1.1.6. Комплексні числа. ........................................................................ 47

1.2. Числові послідовності ......................................................................... 53

1.2.1. Числова послідовність та її границя. .......................................... 53

1.2.2. Нескінченно малі послідовності ................................................. 57

1.2.3. Нескінченно великі послідовності .............................................. 60

1.2.4. Монотонні послідовності ............................................................. 62

1.3. Границя функції ................................................................................... 68

1.3.1. Границя функції однієї змінної ................................................... 68

1.3.2. Нескінченно малі функції ............................................................ 72

1.3.3. Нескінченно великі функції ......................................................... 74

1.3.4. Границя функції кількох змінних. .............................................. 77

1.3.5. Приклади ....................................................................................... 79

1.3.6. Задачі .............................................................................................. 82

1.4. Неперервні функції .............................................................................. 84

1.4.1. Неперервність функції однієї змінної. ....................................... 84

1.4.2. Властивості неперервних функцій .............................................. 90

1.4.3. Неперервність функції кількох змінних. .................................... 93

1.5. Диференціальне числення функцій однієї змінної. ......................... 95

1.5.1. Основи диференціального числення .......................................... 95

1.5.2. Диференціал функції. ................................................................. 101

1.5.3. Похідні і диференціали вищих порядків. ................................. 103

4

1.5.4. Застосування диференціального числення для дослідження

функцій. ..................................................................................................... 107

1.5.5. Похідні функцій багатьох змінних ........................................... 116

1.5.6. Приклади ..................................................................................... 119

1.5.7. Задачі ............................................................................................ 124

2. Інтегральне числення ............................................................................... 127

2.1. Невизначений інтеграл ...................................................................... 127

2.1.1. Властивості невизначеного інтегралу ...................................... 129

2.1.2. Таблиця інтегралів ...................................................................... 130

2.1.3. Основні методи інтегрування. ................................................... 132

2.1.4. Приклади ..................................................................................... 136

2.1.5. Задачі ............................................................................................ 143

2.2. Визначений інтеграл ......................................................................... 144

2.2.1. Основні властивості визначеного інтегралу ............................ 146

2.2.2. Правила обчислення визначених інтегралів ............................ 146

2.2.3. Геометричний зміст визначеного інтегралу та його

застосування .............................................................................................. 154

2.3. Невласні інтеграли ............................................................................ 161

2.3.1. Збіжність невласних інтегралів ................................................. 162

2.3.2. Приклади ..................................................................................... 165

3. Функціональні послідовності та ряди. ................................................... 169

3.1. Функціональна послідовність .......................................................... 169

3.1.1. Приклади ..................................................................................... 172

3.1.2. Функціональні властивості ........................................................ 173

3.1.3. Задачі ............................................................................................ 174

3.2. Числові ряди ....................................................................................... 174

3.2.1. Збіжність числового ряду .......................................................... 175

3.2.2. Властивості числових рядів ....................................................... 177

3.2.3. Додатні числові ряди. ................................................................. 177

3.2.4. Знакопереміжні ряди. ................................................................. 179

5

3.2.5. Абсолютно та умовно збіжні ряди ............................................ 180

3.2.6. Приклади ..................................................................................... 180

3.2.7. Задачі ............................................................................................ 186

3.3. Функціональні ряди. .......................................................................... 186

3.3.1. Рівномірно збіжні ряди .............................................................. 187

3.3.2. Степеневі ряди ............................................................................ 188

3.3.3. Ряди Тейлора та Маклорена ...................................................... 189

4. Звичайні диференціальні рівняння. ........................................................ 191

4.1. Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. ........................ 192

4.1.1. Метод ізоклін. ............................................................................. 193

4.1.2. Задача Коші для диференціального рівняння .......................... 205

4.1.3. Рівняння з відокремлюваними змінними ................................. 207

4.1.4. Приклади ..................................................................................... 208

4.1.5. Вправи для самостійної роботи. ................................................ 211

4.2. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку ...................... 212

4.2.1. Вправи для самостійної роботи ................................................. 214

4.3. Рівняння, що зводяться до лінійних диференціальних рівнянь ... 215

4.3.1. Вправи для самостійної роботи. ................................................ 216

4.4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими

коефіцієнтами ............................................................................................... 217

4.4.1. Вправи для самостійної роботи ................................................. 221

4.5. Системи звичайних диференціальних рівнянь. .............................. 221

4.5.1. Рівновага системи ДР. ................................................................ 225

4.5.2. Особливі точки ............................................................................ 228

4.5.3. Дослідження динамічних систем .............................................. 233

4.5.4. Приклади ..................................................................................... 234

4.5.5. Вправи для самостійної роботи ................................................. 240

4.6. Приклади використання диференціальних рівнянь. ...................... 241

4.6.1. Диференціальні моделі у соціальних науках ........................... 241

4.6.2. Диференціальні рівняння в екології. ........................................ 251

6

4.6.3. Диференціальні моделі у біології ............................................. 252

4.6.4. Економічні диференціальні моделі ........................................... 257

4.6.5. Атомна фізика. ............................................................................ 259

5. Елементи вищої алгебри .......................................................................... 260

5.1. Матриці ............................................................................................... 260

5.1.1. Дії над матрицями....................................................................... 260

5.2. Визначники ......................................................................................... 266

5.2.1. Властивості визначників ............................................................ 267

5.2.2. Визначники вищих порядків ..................................................... 269

5.3. Обернена матриця. ............................................................................ 274

5.3.1. Ранг матриці. ............................................................................... 276

5.3.2. Приклади ..................................................................................... 277

5.3.3. Задачі ............................................................................................ 278

5.4. Елементи лінійних рівнянь. .............................................................. 278

5.4.1. Метод Крамера. ........................................................................... 278

5.4.2. Матричний метод........................................................................ 279

5.4.3. Метод Гауса. ................................................................................ 281

5.4.4. Однорідні системи лінійних рівнянь ........................................ 284

5.5. Елементи векторної алгебри ............................................................. 287

5.5.1. Дії над векторами ........................................................................ 287

5.5.2. Вектори в системі координат .................................................... 289

5.5.3. Скалярний добуток векторів ..................................................... 290

5.5.4. Векторний добуток векторів ..................................................... 291

5.5.5. Добуток вектору на матрицю .................................................... 293

5.5.6. Матриця лінійного оператора ................................................... 294

5.5.7. Ортогональна матриця ............................................................... 296

5.5.8. Матриця повороту ...................................................................... 297

5.5.9. Матриця переходу ...................................................................... 300

5.5.10. Матриці переходу деяких лінійних операторів ................... 301

5.6. Власні числа та власні вектори. ....................................................... 303

7

5.7. Псевдообернення матриць та псевдорозв’язки СЛАР. ................. 306

5.7.1. Властивості .................................................................................. 308

5.7.2. Особливі випадки ....................................................................... 310

6. Елементи теорії графів. ............................................................................ 311

6.1. Вступ. .................................................................................................. 311

6.1.1. Поняття графа. Способи задання графів .................................. 312

6.1.2. Шляхи задання графів. ............................................................... 313

6.2. Підграфи. Ізоморфізм графів. ........................................................... 316

6.2.1. Операції над графами ................................................................. 319

6.2.2. Степені вершин графа ................................................................ 321

6.3. Шлях у графі. Зв’язність графів ....................................................... 323

6.3.1. Перевірка зв’язності графів ....................................................... 333

6.3.2. Пошук шляхів у графі ................................................................ 337

6.3.3. Алгоритм пошуку шляху вшир / вглиб. ................................... 339

6.4. Деякі важливі класи графів: дерева та двочасткові графи ............ 345

6.4.1. Дерево та ліс ................................................................................ 346

6.4.2. Двочастковий граф ..................................................................... 352

6.4.3. Плоскі та планарні графи ........................................................... 353

6.5. Обходи графів .................................................................................... 360

6.5.1. Ейлерів цикл ................................................................................ 361

6.5.2. Гамільтонів цикл ......................................................................... 362

6.6. Розфарбування графів ....................................................................... 362

6.6.1. Розфарбування планарного графу............................................. 365

6.7. Орієнтовані графи ............................................................................. 367

6.7.1. Задання орграфів ......................................................................... 368

6.7.2. Шляхи у орграфі ......................................................................... 371

6.7.3. Деякі важливі класи орграфів .................................................... 381

6.8. Граф як модель. Застосування теорії графів ................................... 383

7. Ланцюги Маркова ..................................................................................... 385

7.1. Ланцюги Маркова з дискретним часом. .......................................... 386

8

7.1.1. Розподіл стану марковського ланцюга за n кроків. ................ 392

7.1.2. Класифікація станів дискретних марковських ланцюгів. ...... 394

7.1.3. Час повернення та час перебування у стані ............................. 402

7.1.4. Поведінка стаціонарного дискретного ланцюга Маркова на

нескінченності .......................................................................................... 405

7.1.5. Задачі про п’яницю ..................................................................... 408

7.2. Ланцюги Маркова з неперервним часом. ....................................... 413

7.2.1. Властивості матриць P та Q. ...................................................... 416

7.2.2. Задання дискретного ланцюга Маркова з неперервним часом.

 416

7.2.3. Задачі ............................................................................................ 418

8. Література ................................................................................................. 419

9

                   Вступ.

           У кожній науці стільки істини, скільки у ній математики. Іммануїл Кант. Кожна наука є настільки зрілою і успішною, наскільки вона здатна давати прогноз. У дослідженні процесів у суспільстві надзвичайно важливим є не тільки констатаційний, а і прогностичний аналіз. І саме прогностика вимагає побудови моделей, за якими і  дійснюватиметься прогноз. Через надзвичайну складність зв’язків у суспільстві, побудувати точну діючу прогностичну модель суспільства не можливо, адже для кожного актора не можливо описати алгоритм дій у кожній ситуації. Тому будують спрощені моделі процесів, які мають відображати розвиток конкретного процесу чи  стану. Одним з видів моделей є математичні моделі для розуміння та створення яких необхідне володіння математичним апаратом з різних розділів вищої математики. У даному навчальному посібнику пропонується необхідний для соціологів, політологів, психологів, економістів та студентів, викладачів та науковців інших нематематичних спеціальностей обсяг знань з математики.

Зміст посібника відповідає навчальній дисципліні «Математичні основи аналізу соціальних процесів», що викладається у магістратурі факультету соціології Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Посібник складається з розділів:

1. Вступ до математичного аналізу

2. Інтегральне числення

3. Функціональні послідовності та ряди

4. Звичайні диференціальні рівняння

5. Елементи вищої алгебри

6. Елементи теорії графів

7. Ланцюги Маркова.

      Кожен розділ характеризується доступним підходом подання та вмісту матеріалу. Так у параграфі «множини» введено нечітко визначені множини, застосування яких у  соціальних дослідженнях є одним з напрямків розвитку неімовірнісної статистики. Інтегральне числення є етапом до розв’язку диференціальних рівнянь, які є частим інструментарієм у задачах прогнозу електоральних настроїв, поширення інформації та ін.. Матрична алгебра застосовується у прикладних статистичних задачах з використанням факторного аналізу та інших методів класифікації Доступно викладено розділи «Елементи теорії графів» - найпоширеніший засіб візуалізації та аналізу соціальних мереж, зв’язків у соціальних групах та поширенні інформації. Ланцюги Маркова використовуються для моделювання та прогнозування дискретних моделей соціальних процесів. У кожному розділі матеріал ілюструється прикладами та завданнями.