Навчальний посібник містить задачі та приклади до всіх розділів вищої математики відповідно до програми загального курсу вищої математики для студентів економічних спеціальностей. Наведено необхідний довідковий матеріал, розв’язування типових прикладів і задач, набори прикладів і задач для практичних занять та самостійної роботи студентів.

                        ЗМІСТ

Передмова ........................................................................................ 3

Розділ І. Лінійна та векторна алгебра ................................................... 5

§1.1. Матриці, дії над матрицями....................................................................... 5

1.1.1. Теоретичні відомості ........................................................................... 5

1.1.2. Розв’язання прикладів та задач ........................................................ 7

1.1.3. Завдання для самостійного розв’язку............................................ 10

§1.2. Визначники ................................................................................................. 13

1.2.1. Теоретичні відомості ......................................................................... 13

1.2.2. Розв’язання прикладів ...................................................................... 15

1.2.3. Приклади для самостійного розв’язку .......................................... 18

§1.3. Ранг матриці та способи його обчислення ............................................ 19

1.3.1. Теоретичні відомості ......................................................................... 19

1.3.2. Приклади для самостійного розв’язку .......................................... 22

§ 1.4. Обернена матриця .................................................................................... 24

1.4.1. Теоретичні відомості ......................................................................... 24

1.4.2. Розв’язання прикладів ...................................................................... 24

1.4.3. Приклади для самостійного розв’язку .......................................... 28

§1.5. Системи лінійних рівнянь ....................................................................... 30

1.5.1. Система n лінійних рівнянь з n невідомими................................. 30

1.5.2. Розв’язання прикладів ...................................................................... 33

1.5.3. Приклади для самостійного розв’язку .......................................... 41

1.5.4. Система m лінійних рівнянь з n невідомими ................................ 42

1.5.5. Розв’язання прикладів ...................................................................... 43

1.5.6. Завдання для самостійної роботи. .................................................. 48

§1.6. Вектори ........................................................................................................ 50

1.6.1. Теоретичні відомості ......................................................................... 50

1.6.2. Розв’язання прикладів ...................................................................... 55

1.6.3. Завдання для самостійної роботи................................................... 56

§1.7. Власні числа та власні вектора ............................................................... 58

1.6.1. Теоретичні відомості ......................................................................... 58

1.7.2. Розв’язання прикладів ...................................................................... 58

1.7.3. Завдання для самостійної роботи................................................... 62

§1.8. Квадратичні форми ................................................................................... 63

1.6.1. Теоретичні відомості ......................................................................... 63

1.8.2. Розв’язання прикладів ...................................................................... 64

1.8.3. Завдання для самостійного розв’язку............................................ 65

584

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

§1.9. Застосування матричного числення при розв’язанні економічних

задач.............................................................................................................. 66

1.9.1. Розв’язання прикладів ...................................................................... 66

1.9.2. Задачі балансового аналізу .............................................................. 73

1.9.3. Приклади розв’язання задач балансового аналізу ...................... 75

1.9.4. Завдання для самостійної роботи................................................... 77

Розділ ІІ. Аналітична геометрія ......................................................... 79

§2.1. Прямокутні координати в просторі. Основні задачі .......................... 79

2.1.1. Відстань між двома точками ........................................................... 81

2.1.2. Поділ відрізка в заданому відношенні ........................................... 81

2.1.3. Площа трикутника ............................................................................ 82

2.1.4. Приклади розв’язання задач ........................................................... 82

2.1.5. Задачі для самостійного розв’язку ................................................. 87

§2.2. Пряма лінія на площині ........................................................................... 88

2.2.1. Приклади розв’язання задач ........................................................... 92

2.2.2. Задачі для самостійного розв’язку ............................................... 107

§2.3. Криві лінії другого порядку .................................................................. 109

2.3.1. Коло .................................................................................................... 109

2.3.2. Еліпс ................................................................................................... 109

2.3.3. Гіпербола ........................................................................................... 110

2.3.4. Парабола ............................................................................................ 112

2.3.5. Приклади розв’язання задач ......................................................... 114

2.3.6. Задачі для самостійного розв’язку ............................................... 121

§ 2.4. Задачі економічного змісту................................................................... 124

2.4.1. Приклади розв’язання задач ......................................................... 124

2.4.2. Задачі для самостійного розв’язку ............................................... 129

§ 2.5. Площина та пряма в просторі .............................................................. 131

2.5.1. Площина ............................................................................................ 131

2.5.1.1. Загальне рівняння площини.................................................. 131

2.5.1.2. Рівняння площини в відрізках .............................................. 132

2.5.1.3. Рівняння площини, що проходить через задану точку .... 132

2.5.1.4. Рівняння площини, що проходить через три задані точки ... 133

2.5.1.5. Кут між двома площинами .................................................... 133

2.5.1.5. Відстань між точкою та площиною ...................................... 133

2.5.2. Пряма лінія в просторі ................................................................... 134

2.5.2.1. Загальне рівняння прямої ...................................................... 134

2.5.2.2. Канонічне рівняння прямої в просторі ................................ 134

2.5.2.3. Векторне рівняння прямої ..................................................... 135

2.5.2.4. Параметричні рівняння прямої ............................................. 135

2.5.2.5. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки... 135

585

Зміст

2.5.2.6. Кут між двома прямими ......................................................... 136

2.5.3. Пряма і площина .............................................................................. 136

2.5.3.1. Кут між прямою та площиною .............................................. 136

2.5.3.2. Точка перетину прямої і площини ....................................... 137

2.5.3.3. Умова належності прямої площині ...................................... 137

2.5.3.4. Умова належності двох прямих одній площині ................. 137

2.5.4. Приклади розв’язання задач.......................................................... 138

2.5.5. Задачі для самостійного розв’язку. .............................................. 146

§ 2.6. Нерівності та їх геометричний зміст ................................................... 148

2.6.1. Приклади розв’язання задач. ......................................................... 151

2.6.2. Задачі для самостійного розв’язку ............................................... 154

§ 2.7. Поверхні другого порядку .................................................................... 155

2.7.1. Сфера та її рівняння ........................................................................ 155

2.7.2. Циліндричні поверхні ..................................................................... 155

2.7.3. Циліндри другого порядку ............................................................ 156

2.7.4. Еліпсоїд.............................................................................................. 156

2.7.5. Гіперболоїди ..................................................................................... 157

2.7.6. Параболоїди ...................................................................................... 157

2.7.7. Конічні поверхні .............................................................................. 158

2.7.7. Поверхні обертання ........................................................................ 158

2.7.8. Приклади розв’язання задач.......................................................... 159

Розділ ІІІ. Вступ до математичного аналізу....................................... 162

§3.1. Поняття множини. Дії з множинами. Множина дійсних чисел.

Абсолютна величина дійсного числа. Комплексні числа ................. 162

3.1.1. Поняття множини ........................................................................... 162

3.1.2. Множина дійсних чисел ................................................................. 163

3.1.3. Поняття абсолютної величини ..................................................... 164

3.1.4. Розв’язання прикладів .................................................................... 165

3.1.5. Задачі для самостійного розв’язку ............................................... 166

3.1.6. Комплексні числа ............................................................................ 166

3.1.6.1. Дії з комплексними числами ................................................. 167

3.1.6.2. Модуль та аргумент комплексного числа ........................... 168

3.1.6.3. Тригонометрична форма комплексного числа .................. 169

3.1.6.4. Піднесення комплексного числа до степеня ...................... 170

3.1.6.5. Показникова форма комплексного числа ........................... 171

3.1.7. Приклади для самостійного розв’язку ........................................ 172

§3.2. Означення функції. Область визначення. Способи завдання

функції. Основні елементарні функції, які використовуються

в економічних дисциплінах ................................................................... 174

3.2.1. Поняття сталої величини ............................................................... 174

586

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

3.2.2. Поняття функції .............................................................................. 174

3.2.3. Властивості функції ........................................................................ 175

3.2.4. Функція, обернена до даної ........................................................... 176

3.2.5. Поняття складної (складеної) функції ........................................ 177

3.2.6. Основні елементарні функції ........................................................ 177

3.2.7. Елементарні функції ....................................................................... 185

3.2.8. Деякі неелементарні функції......................................................... 186

3.2.9. Основні елементарні функції, які використовуються в

економічних дослідженнях ............................................................ 187

3.2.10. Розв’язання прикладів.................................................................. 189

3.2.11. Побудова графіків функцій ......................................................... 190

3.2.12. Розв’язання прикладів.................................................................. 192

3.2.13. Приклади для самостійного розв’язання .................................. 197

§3.3. Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей.

Нескінченно малі величини .................................................................. 199

3.3.1. Поняття послідовності ................................................................... 199

3.3.2. Границя послідовності .................................................................... 199

3.3.3. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності .......... 201

3.3.4. Основні теореми про границі послідовності .............................. 201

3.3.5. Розв’язання прикладів .................................................................... 202

3.3.6. Приклади для самостійного розв’язку ........................................ 206

§3.4. Границя функції. Особливості границі. Розкриття невизначеностей.

Перша та друга визначні границі. ......................................................... 207

3.4.1. Означення границь змінної ........................................................... 207

3.4.2. Поняття границі функції ............................................................... 207

3.4.3. Теореми про границі функції ........................................................ 209

3.4.4. Перша і друга визначні границі .................................................... 209

3.4.5. Розв’язання прикладів .................................................................... 210

3.4.6. Приклади для самостійного розв’язку ........................................ 222

§3.5. Неперервність функції. Властивості неперервних функцій.

Розриви функцій. .................................................................................... 225

3.5.1. Розв’язання прикладів .................................................................... 226

3.5.2. Приклади для самостійного розв’язку ........................................ 230

§3.6. Економічні задачі, пов’язані з послідовністю та її границею

(елементи математики фінансів) ......................................................... 231

3.6.1. Поняття відсотка ............................................................................. 231

3.6.2. Три основні задачі на відсотки...................................................... 231

3.6.3. Формула простого відсотка ........................................................... 232

3.6.4. Формула складного відсотка......................................................... 233

3.6.5. Формула, коли відсотки нараховуються неперервно............... 234

3.6.6. Дисконтування................................................................................. 235

3.6.7. Приклади розв’язання задач ......................................................... 236

587

Зміст

Розділ ІV. Диференційне числення функції однієї змінної .................. 238

§4.1. Означення похідної. Залежність між неперервністю та

диференційовністю функції. Правила диференціювання.

Похідні основних елементарних функцій .......................................... 238

4.1.1. Означення похідної ......................................................................... 238

4.1.2. Основні правила та формули диференціювання ...................... 240

4.1.3. Логарифмічне диференціювання ................................................. 250

4.1.4. Приклади для самостійного розв’зку........................................... 251

§4.2. Похідна неявної функції. Параметричне завдання функції.

Диференціювання функції, заданої параметрично.

Похідні вищіх порядків ......................................................................... 253

4.2.1. Похідна неявної функції ................................................................ 253

4.2.2.Параметричне завдання функції ................................................... 254

4.2.3. Похідні вищих порядків ................................................................. 256

4.2.4. Приклади для самостійного розв’язку ........................................ 257

§4.3. Механічний та геометричний зміст похідної. .................................... 259

Рівняння дотичної та нормалі до кривої ............................................... 259

4.3.1. Механічний та геометричний зміст похідної.

Геометричний зміст похідної ......................................................... 260

4.3.2. Дотична та нормаль до кривої ....................................................... 261

4.3.3. Задачі для самостійного розв’язку ............................................... 265

§4.4. Диференціал функції. Застосування диференціала для наближених

обчислень................................................................................................... 266

4.4.1. Диференціал функції ...................................................................... 266

4.4.2. Обчислення основних диференціалів ......................................... 266

4.4.3. Інваріантність форми першого диференціала функції ............ 267

4.4.4. Застосування диференціала для наближених значень ............ 267

4.4.5. Економічне застосування диференціала. Мультиплікатор .... 267

4.4.6. Розв’язання прикладів .................................................................... 268

4.4.7. Приклади для самостійного розв’язку ........................................ 269

§4.5. Привило Лопіталя та застосування його до знаходження границь

функцій ..................................................................................................... 270

4.5.1. Випадки

0

0

  

 !

 "

та

/ 

/!  "

.................................................................... 270

4.5.2. Випадки 0/ та / / ................................................................. 272

4.5.3. Випадки 1/ , /0 та 00 ...........................................................................................................................................273

4.5.4. Приклади для самостійного розв’язку ........................................ 275

§4.6. Деякі основні теореми диференційного числення ............................ 276

4.6.1. Теорема Лагранжа (про скінчені прирости функції) ............... 276

588

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

4.6.2. Формула Тейлора ............................................................................ 277

4.6.3. Застосування формули Тейлора в економічних задачах ......... 278

4.6.4. Розклад основних елементарних функцій за формулою

Тейлора .............................................................................................. 279

§4.7. Економічний зміст похідної. Еластичність ........................................ 282

4.7.1. Задача на продуктивність праці ................................................... 282

4.7.2. Еластичність ..................................................................................... 283

4.7.3. Використання еластичності в економічному аналізі ................ 285

4.7.4. Розв’язання задач ............................................................................ 288

4.7.5. Задачі для самостійного розв’язку ............................................... 296

§4.8. Дослідження функцій та побудова їх графіків .................................. 298

4.8.1. Зростання та спадання функції. ................................................... 298

4.8.2. Означення максимуму та мінімуму функції. Найбільше та

найменше значення функції на відрізку ..................................... 300

4.8.3. Задачі для самостійного розв’язку ............................................... 308<