У підручнику викладаються теоретичні та методичні аспекти створення параметричної геометричної моделі виробу для побудови креслення. Доповнені автором закони проекційних зв'язків дозволяють вирішувати геометричні завдання в кожному з восьми октантів. Запропонована універсальна структура формальних алгоритмів розв'язку позиційних, метричних і аксонометричних задач, а також розв'язку задачі побудови розгортки криволінійної поверхні. Розв'язання кожного базового інженерного завдання супроводжується побудовою та взаємно однозначним перетворенням двовимірних і тривимірних геометричних моделей виробу. Кожний крок алгоритму відображається в знаковій (семіотичній) моделі розв'язання інженерного завдання. Комплексна комбінація геометричних моделей і семіотичної моделі формує розуміння суті досліджуваного явища. Для студентів, магістрів, аспірантів, докторантів, викладачів технічних університетів і академій, а також інженерів-практиків.

ЗМІСТ

РЕКОМЕНДАЦІЯ…….……………………………………….…12

ПЕРЕДМОВА..………………………………………………..…..13

ВСТУП.…………………………………………………………….19

Нарисна геометрія….……………………………………….19

Предмет, мета та задачі нарисної геометрії…..…………...19

Види геометричних образів та фігур……………….……...21

Визначник геометричного образа……………………...…..21

1. МЕТОД ПРОЕКЦІЮВАННЯ. АПАРАТ І ОПЕРАЦІЇ

ПРОЕКЦІЮВАННЯ….....…………………………………...…...22

2. ВИДИ ПРОЕКЦІЮВАННЯ. ЦЕНТР

ПРОЕКЦІЮВАННЯ………………………………………...……24

2.1. Центральне (конічне) проекціювання……….………...24

2.2. Паралельне (циліндричне) проекціювання……….…..25

2.3. Властивості центрального (конічного)

проекціювання...................................................................................27

2.4. Властивості паралельного (циліндричного) косокутного

проекціювання……….…...…………………………………….…..29

2.5. Властивості паралельного (циліндричного)

прямокутного (ортогонального) проекціювання.……....…..…....31

3. СТВОРЕННЯ КОМПЛЕКСНОГО КРЕСЛЕННЯ.

ОКТАНТИ. МЕТОД ГАСПАРА МОНЖА….………………...34

3.1. Поняття октанта………………………….….……….....34

3.2. Суть методу Гаспара Монжа………………….……….36

4. ГЕОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ ТА АНАЛІТИЧНА МОДЕЛЬ

ТОЧКИ…..……………………………………………….…...........37

4.1. Закони проекційних зв'язків…………….……...……....40

4.2. Класифікація точок…..……………..………………......41

Контрольні питання до першого інформаційного блоку……..…42

5. ГЕОМЕТРИЧНІ ТА АНАЛІТИЧНІ МОДЕЛІ ПРЯМОЇ

ЛІНІЇ……………………………………..........................................43

5.1. Класифікація прямих ліній.………….……………....…44

5.2. Способи завдання відрізка та визначники прямої

лінії………………………………………………………………….44

5.3. Геометрична модель прямої лінії загального

положення………………………………………………………….45

5.4. Особливості комплексного креслення прямої лінії

загального положення………….....……………………………….45

5.5. Геометричні моделі прямої лінії рівня………………..47

5.5.1. Геометрична модель горизонтальної прямої лінії

рівня та властивості цієї моделі…….………………………….....48

5.5.2. Геометрична модель фронтальної прямої лінії рівня

та властивості цієї моделі……..…………………………………..49

5.5.3. Геометрична модель профільної прямої лінії рівня та

властивості цієї моделі……………………………...……………..51

5.5.4. Особливості комплексного креслення прямої лінії

рівня…………………………………………………………………52

5.6. Геометричні моделі проекціюючої прямої лінії...……53

5.6.1. Геометрична модель горизонтально проекціюючої

прямої лінії та властивості цієї моделі……….……………….......54

5.6.2. Геометрична модель фронтально проекціюючої

прямої лінії та властивості цієї моделі………………….………...56

5.6.3. Геометрична модель профільно проекціюючої прямої

лінії та властивості цієї моделі……………………………………57

5.6.4. Особливості комплексного креслення проекціюючої

прямої лінії.………………………..……………….…….…………59

5.7. Аналітичні моделі прямої лінії……...……..…………..59

6. ГЕОМЕТРИЧНІ ТА АНАЛІТИЧНІ МОДЕЛІ

ПЛОЩИНИ………….…..………………......................................61

6.1. Класифікація площин.……….………...………….……61

6.2. Способи завдання площини на комплексному

кресленні. Визначники площини………….………....……...........62

6.3. Геометрична модель площини загального

положення………………………………………………….……….63

6.4. Особливості комплексного креслення площини

загального положення……..……………………………………….64

6.5. Геометричні моделі площини рівня……...…..………..65

6.5.1. Геометрична модель горизонтальної площини рівня

та властивості цієї моделі…...……………………………………..66

6.5.2. Геометрична модель фронтальної площини рівня та

властивості цієї моделі……………………………………………68

6.5.3. Геометрична модель профільної площини рівня та

властивості цієї моделі……………………………………………70

6.5.4. Особливості комплексного креслення площини

рівня…………………………………………………………………72

6.6. Геометричні моделі проекціюючої площини…..…......73

6.6.1. Геометрична модель горизонтально проекціюючої

площини та властивості цієї моделі…..…...……………....……...74

6.6.2. Геометрична модель фронтально проекціюючої

площини та властивості цієї моделі………....…..……….………76

6.6.3. Геометрична модель профільно проекціюючої

площини та властивості цієї моделі…...…..…...…………………78

6.6.4. Особливості комплексного креслення проекціюючої

площини.………………………..…………..………...…………….80

6.7. Аналітичні моделі площини.………………….………..81

6.8. Головні лінії площини……...…...…………….………..82

Контрольні питання до другого інформаційного блоку…..……..84

7. ГЕОМЕТРИЧНІ ТА АНАЛІТИЧНІ МОДЕЛІ

ПОВЕРХНІ…..……………………………...……………..............86

7.1. Способи створення, способи опису та відображення,

класифікація поверхонь………………………………...………….86

7.2. Контур та обрис поверхні. Спосіб завдання поверхні на

комплексному кресленні…..…………..………...……....…...........90

7.3. Лінійчасті розгортні поверхні з однією напрямною

лінією………………………….…………………………………….91

7.4. Лінійчасті нерозгортні поверхні з двома напрямними

лініями та площиною паралелізму…………………………….…97

7.5. Лінійчасті нерозгортні поверхні з трьома напрямними

лініями………………..………….…….……………………..……102

7.6. Гвинтові поверхні……………………………….….....104

7.7. Поверхні обертання та їх аналітичні моделі….…......107

7.8. Ознака належності точки поверхні……..……………112

Контрольні питання до третього інформаційного блоку…..…..112

8. ПОЗИЦІЙНІ ЗАДАЧІ…………………………………….......115

8.1. Поняття й класифікація позиційних задач…………...115

8.2. Поняття конкуруючих точок. Правило визначення

видимості конструктивних елементів виробу……….…..……...116

8.3. Взаємне розташування, належність і перетинання

однотипних лінійних геометричних образів….…………….…..116

8.3.1. Взаємне розташування, належність (збіг) точок.

Правило визначення видимості конкуруючих точок.………......117

8.3.2. Взаємне розташування, належність і перетинання

прямих ліній…….………………………………………………...122

8.3.3. Взаємне розташування, належність і перетинання

площин..…………………………………………………..……….129

8.4. Взаємне розташування, належність і перетинання

різнотипних лінійних геометричних образів…..……………….133

8.4.1. Взаємне розташування, належність (збіг) точки та

прямої лінії……….………..……………………………..……….133

8.4.2. Взаємне розташування, належність (збіг) точки та

площини………………………………..………………………....135

8.4.3. Взаємне розташування, належність і перетинання

прямої лінії та площини…..………………………….…………..138

8.5. Взаємне розташування, належність (збіг) точки та

поверхні………..……………………………....………………….142

8.6. Застосування ознак інцидентності геометричних

образів для розв'язання інженерних задач……….……………..147

8.6.1. Задача про належність прямої лінії площині

(задача 1)…………………………………………………………..147

8.6.2. Задача про належність точки площині

(задача 2)…………………………………..………………………150

8.6.3. Задача про паралельні площини (задача 3)…...…...155

8.7. Взаємний перетин геометричних образів……...…….164

8.7.1. Класифікація позиційних задач про взаємний перетин

геометричних образів..…………………………..……………….164

8.7.2. Поняття та критерій вибору посередника для

позиційних задач…………………………………..………….......165

8.7.3. Алгоритм розв'язання позиційних задач про взаємний

перетин геометричних образів……………………………….......166

8.7.4. Побудова точки перетину прямої лінії та площини

(задачі 4, 5). Перша основна позиційна задача нарисної

геометрії…….…………………………...………………..……….171

8.7.5. Побудова лінії перетину двох площин (задача 6).

Друга основна позиційна задача нарисної геометрії…….……..191

8.7.6. Побудова точок перетину прямої лінії та поверхні

(задача 7)…..………………...…………………………………….204

8.7.7. Побудова лінії перетину площини та поверхні

(задача 8)………….…………….......…………………………......214

8.7.8. Побудова лінії перетину двох поверхонь

(задачі 9, 10, 11)………….………………………………….…….227

Контрольні питання до четвертого інформаційного блоку…....267

9. МЕТРИЧНІ ЗАДАЧІ..…...……………………………….......269

9.1. Теорема про проекцію прямого кута…………………270

9.2. Розв'язання метричних задач без перетворення

комплексного креслення…………………………………………272

9.2.1. Перпендикулярність прямих ліній (задачі 12, 13)...272

9.2.2. Перпендикулярність прямої лінії та площини

(задача 14)…………………………………………………………277

9.2.3. Перпендикулярність двох площин……...………….279

9.2.4. Кути між прямими лініями……………….…………280

9.2.5. Кут між прямою лінією та площиною (задача 15)...280

9.2.6. Кут між площинами…….…..……………………….287

9.3. Розв'язання метричних задач перетворенням

комплексного креслення…………….……………………………289

9.3.1. Класифікація методів перетворення комплексного

креслення геометричного образа…………………….…………..289

9.3.2. Методи перетворення комплексного креслення для

непорушного геометричного образа..……...……………………291

9.3.2.1. Метод заміни площин проекцій із введенням

площин і осей координат поза геометричним образом та його

проекціями (задача 16)……………………….…………………...291

9.3.2.2. Метод заміни площин проекцій із введенням

площин і осей координат через елементи геометричного образа та

його проекції. Метод прямокутного трикутника (задача 17)….297

9.3.2.3. Алгоритм багаторазового застосування методу

заміни площин проекцій..….…………….………………………300

9.3.3. Методи перетворення комплексного креслення при

змінюваному (рухливому) положенні геометричного образа в

просторі……………………………………………………………305

9.3.3.1. Метод обертання геометричного образа навколо

прямої лінії (осі) загального положення..……………………….305

9.3.3.2. Метод обертання геометричного образа навколо

прямої лінії, перпендикулярної до площини проекцій. Метод

обертання геометричного образа навколо проекціюючої осі,

(задача 18)…………………………………………………………307

9.3.3.3. Метод обертання геометричного образа навколо

прямої лінії рівня (задача 19).……..…………………………….310

9.3.3.4. Метод суміщення площини загального положення із

площинами проекцій обертанням навколо головних ліній

(задача 20)….…………………..…………………………………317

9.3.3.5. Метод плоскопаралельного переміщення

(задача 21)…………………………………………………………328

Контрольні питання до п'ятого інформаційного блоку…..……335

10. РОЗГОРТКИ ПОВЕРХОНЬ………….………..…...………337

10.1. Основні властивості розгортання……...……………337

10.2. Ознака розгортання поверхні……………………..…338

10.3. Загальний принцип, метод і алгоритм побудови

розгортки криволінійної поверхні…………………………….....339

10.4. Способи побудови розгорток..………………….…...343

10.5. Розгортка конусів і пірамід (задача 22)………....….344

10.6. Розгортка циліндрів і призм (задача 23)…...…….…350

Контрольні питання до шостого інформаційного блоку…….…362

11. АКСОНОМЕТРИЧНІ ПРОЕКЦІЇ.……...………...…...….363

11.1. Проекційне креслення. Вимоги до проекційного

креслення та його побудови…..………..………….…….……….363

11.2. Принципи побудови креслення……...…….………..364

11.3. Визначення аксонометрії…………………….………366

11.4. Суть методу, апарат і операції аксонометричного

проекціювання….……..………………..…………………………366

11.5. Властивості аксонометричних проекцій……………368

11.5.1. Наочність аксонометрії……………...……………..368

11.5.2. Оборотність аксонометрії………………………….369

11.5.3. Вимірність аксонометрії………….….…………….372

11.6. Теорема Польке-Шварца…………………………….374

11.7. Класифікація аксонометричних проекцій……….….375

11.8. Стандартні види аксонометричних проекцій……....378

11.8.1. Прямокутна ізометрія……………………………...378

11.8.2. Прямокутна диметрія……………...……………….386

11.8.3. Косокутна фронтальна ізометрія…...…...…….......401

11.8.4. Косокутна фронтальна диметрія……………….….404

11.8.5. Косокутна горизонтальна ізометрія……......…......407

11.9. Алгоритм побудови аксонометрії……..…………….410

Контрольні питання до сьомого інформаційного блоку……….420

ВИСНОВКИ……………...……………………………....………422

ЛІТЕРАТУРА…………...………………………………….....….432

ДОДАТОК…..………………...…………………………………..440