Книга присвячена історії виникнення і розвитку варіаційних принципів будівельної механіки, а також механіки в цілому і за задумом представляється у вигляді нарисів розвитку окремих напрямів, кожному з яких притамана певна історія виникнення і становлення відповідних понять, ідей, принципів, проблем і методів їх реалізації. Адже за відомою думкою Джона Бернала «У науці більше, ніж в будь-якій іншій інституції людства, необхідно вивчати минуле для розуміння сучасного і панування над природою в майбутньому». Викладення змісту супроводжується фактами з життя і діяльності великих дослідників. Книга може бути використана як підручник для студентів вищих навчальних закладів при реалізації магістерських програм, вивченні спеціальних курсів, які пов’язані з викладанням варіаційних принципів і методів будівельної механіки, побудовою сучасних чисельних процедур і технологій. Загалом вона зорієнтована на читачів і студентів, які вже вивчали обов’язкові курси будівельної механіки і суміжних технічних дисциплін, а також викладачів і науково-технічних працівників. 

Зміст

Передмова 11

Частина І. ЕКСТРЕМАЛЬНІ І ВАРІАЦІЙНІ ЗАДАЧІ. ІСТОРІЯ

СТАНОВЛЕННЯ ТА РОЗВИТКУ 21

Нарис 1. Перші екстремальні задачі

1.1. Класична ізопериметрична задача. Задача Дідони

1.2. Задача Герона

1.3. Максимуми і мінімуми в геометрії

1.3.1. Задача Евкліда

1.3.2. Ізопіфанна задача Архімеда

1.3.3. Задача Штейнера

1.4. Максимуми і мінімуми в алгебрі

1.4.1. Задача Тартальї

1.4.2. З історії деяких нерівностей

Нарис 2. Екстремальні задачі у XVII ст. Кеплер, Ферма, Ньютон

2.1. Задача Кеплера

2.2. Теорема Ферма

2.3. Аеродинамічна задача Ньютона

с 3. Виникнення і становлення варіаційного числення. Родина

Бернуллі, Ньютон, Лейбніц, Ейлер, Лагранж, Пуассон, Гаусс,

Гамільтон, Остроградський, Якобі

3.1. Перші варіаційні задачі

3.1.1. Задача про брахістохрону

3.1.2. Ізопериметрична задача

3.1.3.Задача про геодезичні лінії

3.2. Прямий метод Ейлера

3.3. Створення методу варіацій. Лагранж

3.4. Теорія екстремумів кратних інтегралів

3.5. Канонічні змінні. Теорія Гамільтона–Якобі

Нарис 4. Варіаційні задачі на умовний екстремум. Метод множників

Лагранжа

4.1. Умовний екстремум функції багатьох змінних

4.2. Умовний екстремум функціонала

4.3. Перетворення варіаційних задач. Теорія Р. Куранта і

Д. Гільберта

4.3.1. Застосування методу множників Лагранжа

4.3.2. Перетворення Фрідріхса

Варіаційні принципи будівельної механіки. Нариси з історії 5

4.3.3. Перетворення варіаційних принципів

4.3.4. Висновки

Нарис 5. Достатні умови екстремуму. Веєрштрасс, Ердман, Якобі

5.1. Достатні умови слабкого екстремуму. Якобі

5.2. Проблема розрізнення слабкого і сильного екстремумів

5.3. Теорія сильного екстремуму. Функція Веєрштрасса

5.4. Екстремалі з кутовими точками. Умови Веєрштрасса–Ердмана

5.4.1. Задача про відбиття екстремалей

5.4.2. Переломлення екстремалей

5.5. Формулювання достатніх умов сильного та слабкого

екстремумів

Нарис 6. Теорія поля екстремалей. Кнезер, Гільберт. Теорема Нетер

6.1. Теорія поля екстремалей

6.1.1. Поле екстремалей. Умови трансверсальності

6.1.2. Варіаційні задачі з рухомими границями

6.1.3. Інтеграл Гільберта. Теорема незалежності

6.2 Теорема Нетер

6.2.1. Канонічний вигляд рівнянь Ейлера

6.2.2. Перші інтеграли рівнянь Ейлера. Теорема Нетер у випадку

однієї незалежної змінної

6.3. Варіаційні задачі з частинними похідними

6.3.1. Основна формула для варіації функціонала у випадку

фіксованої області

6.3.2. Головна формула для варіації у випадку змінної області.

Теорема Нетер

Нарис 7. Задачі з обмеженнями. Історія доведення правила множників

Лагранжа. Майер, Больца, Бертран, Шеррер, Турксма, Емеріх,

Хан, Адамар, Макшейн, Люстернік

7.1. Ізопериметрична проблема. Доведення закону взаємності

7.2. Задача Лагранжа. Проблеми Майера і Больца

Нарис 8. Перетворення Лежандра. Двоїсті варіаційні принципи. Двоїсті

постановки задач будівельної механіки. Плюккер, В. Юнг,

Фенхель, Донкін, Дж. Грін

8.1. Перетворення Лежандра

8.2. Двоїсті варіаційні принципи

8.3. Перетворення Юнга-Фенхеля

8.4. Інволютизм перетворення Лежандра. Двоїсті за Юнгом функції.

Теорема Донкіна

6 Зміст

8.5 Двоїсті постановки задач для функціоналів будівельної механіки 333

Нарис 9. Варіаційні задачі на екстремуми в замкнених областях. Гернет,

Валентайн, Понтрягін

9.1 Задачі з обмеженнями. Односторонні варіації

9.2 Принцип максимуму Понтрягіна

Нарис 10. Відродження прямих методів. Становлення функціонального

аналізу

10.1. Встановлення зв'язку теорії рівнянь в частинних похідних з

варіаційними задачами. Принцип Діріхле

10.2. Від Ейлера до сучасних обчислювальних підходів

10.2.1. Варіаційне числення Ейлера-Лагранжа

10.2.2. Рівняння Лапласа і принцип Діріхле

10.2.3. Трактування Рітцем задачі про згин пластинки і

принципу Діріхле. Метод Рітца, його поширення і

застосування

10.2.4. Подальше визнання роботи Рітца і створення методу

скінченних елементів. Повернення до Ейлера

10.3. Становлення функціонального аналізу

Література 389

Частина ІІ. ВАРІАЦІЙНІ ПРИНЦИПИ МЕХАНІКИ 407

Нарис 11. Загальні варіаційні принципи механіки. Історія розвитку

Вступ

11.1. Принцип можливих швидкостей (переміщень)

11.1.1. Історичний огляд. Антична механіка. Аристотель,

Архімед, Галілей, Стевін, Й.І Бернуллі, Ампер,

Торрічеллі, Лазар Карно, Лагранж

11.1.2. Епоха Відродження. Леонардо да Вінчі, Коммандіно,

Убальді, Стевін, Тарталья, Кардано, Бенедетті

11.2. Принцип Лагранжа-Діріхле. Основи статики

11.3. Ланцюгова лінія

11.4. Силова функція

11.5. Нерівність Фур’є

11.6. Ступені вільності. А.Ф. Мебіус, П.Л. Чебишов, П.Й. Сомов,

О.П. Малишев, Л.В. Ассур

11.7. Перші варіаційні принципи. Ферма, «Начала» Ньютона,

Лейбніц

11.8. Принципи найменшої дії

Варіаційні принципи будівельної механіки. Нариси з історії 7

11.8.1. Принцип Мопертюї

11.8.2. Критики

11.8.3. Лист Лейбніца до Германна

11.8.4. Застосування принципу найменшої дії

11.9. Метод динамічної рівноваги. Принцип Д’Аламбера

11.10. Принцип можливих переміщень в задачах динаміки.

Принципи Журдена, Гаусса, Герца

11.11. Принцип Гамільтона-Остроградського. Двоїстий принцип

Гамільтона-Пуанкаре

Нарис 12. Основні варіаційні принципи і функціонали будівельної

механіки

12.1. Гук, Маріотт, Юнг

12.2. Варіаційні принципи механіки твердого деформівного тіла

12.3. Узагальнений принцип напруження О.Коші

12.4. Суперництво як джерело народження двох наукових шкіл

12.4.1. Мор проти Мюллера-Бреслау

12.4.2. Суперечка про принципи

12.5. Б.П. Клапейрон, Г. Ламе, Дж. Максвелл, О. Мор, Дж. Релей,

В.Л. Кирпичов, С.П. Тимошенко, А. Ляв

12.6. Принципи Лаґранжа і Кастільяно

12.7. Теорема Клапейрона. Теореми, які зв’язують об’ємні і

поверхневі інтеграли. Інтегральна формула. Формула

Папковича

12.8. Постановка двоїстих варіаційних задач.Функціонали ХуВасідзу, Рейсснера, Лагранжа, Кастільяно, Гамільтона

12.8.1. Загальний варіаційний принцип

12.8.2. Функціонали Ху-Васідзу

12.8.3. Варіаційні задачі Рейсснера

12.8.4. Функціонали Лаґранжа і Кастільяно

12.9. Принцип Гамільтона

12.9.1. Принцип Гамільтона в механіці деформівного твердого

тіла

12.9.2. Принцип Гамільтона в будівельній механіці стержневих

систем

Нарис 13. Двоїста природа задач будівельної механіки

Вступ

13.1. Форми виразу потенціальної енергії. Частинні похідні від

потенціальної енергії

13.2. До історії методу сил і методу переміщень

8 Зміст

13.3. Матричне формулювання. Аргіріс 610

Література 617

Частина ІІІ. ПРЯМІ МЕТОДИ ВАРІАЦІЙНОГО ЧИСЛЕННЯ І ЇХ

РЕАЛІЗАЦІЯ 659

Нарис 14. Прямі методи розв’язання варіаційних задач. Рітц, Бубнов,

Гальоркін, Треффц, Канторович

14.1. Метод Релея-Рітца

14.2. Метод Бубнова-Гальоркіна

14.3. Метод Трефтца

14.4. Метод Канторовича

14.5. Чисельні методы

14.6. Метод сіток

14.7. Варіаційно-різницевий метод

Нарис 15. Штрихи історії методу скінченних елементів

15.1. Передісторія

15.2. Зародження методу

15.2.1. Перші кроки

15.2.2. Ланцюгова реакція

15.2.3. Поширення на пластини і оболонки

15.2.4. Ізопараметричний елемент

15.3. Пошуки строгого обґрунтування

15.4. Інші варіанти МСЕ

15.4.1. Метод Рітца і метод Гальоркіна

15.4.2. Використання інших функціоналів

15.4.3.Дискретно-континуальний (напіваналітичний) МСЕ

15.5. Програмні реалізації

15.5.1. Вибір методу

15.5.2. Становлення програмної архітектури

15.5.3. Пошук розв’язувальників

15.5.4. Крокова процедура

Нарис 16. Метод граничних елементів

Вступ

16.1. Становлення МГЕ. Від теорії до чисельної реалізації

16.2. Порівняння МГЕ і МСЕ

16.3. Варіанти МГЕ

16.4. Метод Треффца

Варіаційні принципи будівельної механіки. Нариси з історії 9

16.5. Шляхи подолання недоліків МГЕ 725

Нарис 17. Екстремальні принципи теорії пластичності

17.1. Передісторія

17.2. Задачі граничної рівноваги

17.3. Аналіз поведінки пружнопластичних систем

17.4. Практична реалізація екстремальних принципі

733

734

737

745

748

Нарис 18. Задачі оптимізації у теорії споруд

Вступ

18.1. Обернена задача будівельної механіки

18.2. Початок шляху

18.3. Виникнення теорії

18.4. Синтез схем

18.5. Розрахунок, орієнтований на оптимальне проектування

18.6. Оптимізація и антиоптимізація

18.7. Нетрадиційні задачі оптимізації

Література 783

Частина ІV. ВНЕСОК УКРАЇНСЬКИХ УЧЕНИХ.

М. ОСТРОГРАДСЬКИЙ, В. КИРПИЧОВ, С. ТИМОШЕНКО 807

Нарис 19. М.В. Остроградський 809

Нарис 20. В.Л. Кирпичов 843

Нарис 21. С.П. Тимошенко 885

Література 911