Навчальний посібник містить теоретичний матеріал з лінійної алгебри, аналітичної геометрії та векторної алгебри, а також зразки розв’язання типових задач, тестові питання та задачі, індивідуальні варіанти типових розрахунків. Призначено для студентів технічних спеціальностей.                 

                                ЗМІСТ

Вступ ............................................................................................................ 3

Глава 1. Елементи лінійної алгебри............................................................ 5

1.1. Матриці.................................................................................................. 5

1.1.1. Основні поняття ........................................................................... 5

1.1.2. Дії з матрицями ............................................................................ 6

1.2. Визначники.......................................................................................... 11

1.2.1. Основні поняття ......................................................................... 11

1.2.2. Властивості визначників............................................................ 12

1.3. Невироджені матриці.......................................................................... 16

1.3.1. Основні поняття ......................................................................... 16

1.3.2. Обернена матриця ...................................................................... 16

1.3.3. Ранг матриці ............................................................................... 19

1.4. Системи лінійних рівнянь .................................................................. 22

1.4.1. Основні поняття ......................................................................... 22

1.4.2. Необхідна та достатня умови сумісності систем лінійних

алгебраїчних рівнянь. Теорема Кронекера – Капеллі .............. 23

1.4.3. Розв’язання невироджених систем лінійних алгебраїчних

рівнянь Правило Крамера. Розв’язання за допомогою

оберненої матриці ...................................................................... 24

1.4.4. Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом

Гаусса ......................................................................................... 26

1.4.5. Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом

Жордана – Гаусса....................................................................... 29

1.4.6. Однорідні системи лінійних алгебраїчних рівнянь.................. 29

1.5. Варіанти обов’язкового домашнього завдання до глави 1 ............... 32

1.6. Приклад виконання обов’язкового домашнього завдання

до глави 1 ...................................................................................................45

Глава 2. Елементи векторної алгебри....................................................... 52

2.1. Вектори................................................................................................ 52

2.1.1. Основні поняття ....................................................................... 52

2.1.2. Лінійні операції над векторами ............................................... 53

2.1.3. Проекція вект.ора на вісь......................................................... 55

2.1.4. Розкладання вектора по ортах координатних осей. Модуль

вектора. Напрямні косинуси.................................................... 58

2.1.5. Дії над векторами, заданими проекціями ............................... 60

2.2. Скалярний добуток векторів і його властивості ............................... 62

2.2.1. Визначення скалярного добутку ............................................. 62

185

2.2.2 Властивості скалярного добутку.............................................. 62

2.2.3. Вираз скалярного добутку через координати......................... 63

2.2.4. Застосування скалярного добутку........................................... 64

2.3. Векторний добуток векторів і його властивості ............................... 66

2.3.1. Визначення векторного добутку ............................................... 66

2.3.2. Властивості векторного добутку............................................... 67

2.3.3. Вираз векторного добутку через координати........................... 68

2.3.4. Деякі застосування векторного добутку ................................... 69

2.4. Мішаний добуток векторів................................................................. 71

2.4.1. Визначення мішаного добутку, його геометричний зміст....... 71

2.4.2. Властивості мішаного добутку.................................................. 72

2.4.3. Вираз мішаного добутку через координати.............................. 73

2.4.4. Деякі застосування мішаного добутку...................................... 73

2.5. Варіанти обов’язкового домашнього завдання до глави 2 ............... 74

2.6. Приклад виконання обов’язкового домашнього завдання

до глави 2 ................................................................................................... 83

Глава 3. Аналітична геометрія .................................................................. 87

3.1 Площина та пряма у просторі ............................................................. 87

3.1.1. Найпростіші задачі аналітичної геометрії у просторі.............. 87

3.1.2. Рівняння площини...................................................................... 88

3.1.3. Пряма лінія в просторі............................................................... 93

3.1.4. Взаємне розташування прямої та площини.............................. 98

3.2. Пряма на площині............................................................................. 102

3.2.1. Найпростіші задачі аналітичної геометрії на площині .......... 102

3.2.2. Рівняння прямої на площині.................................................... 104

3.3. Лінії другого порядку на площині ................................................... 111

3.3.1. Коло .......................................................................................... 111

3.3.2. Еліпс.......................................................................................... 112

3.3.3. Гіпербола .................................................................................. 116

3.3.4. Парабола ................................................................................... 119

3.3.5. Дослідження загального рівняння кривих другого порядку . 121

3.4. Варіанти обов’язкового домашнього завдання до глави 2 ............. 123

3.5. Приклад виконання обов’язкового домашнього завдання

до глави 3 ....................................................................................................... 129

Зразки варіантів контрольної роботи з лінійної алгебри....................... 138

Зразки варіантів контрольної роботи з векторної алгебри .................... 142

Зразки варіантів контрольної роботи з аналітичної геометрії .............. 144

186

Варіанти тестових завдань до глави 1 «Елементи лінійної

алгебри».................................................................................................... 148

Варіанти тестових завдань до глави 2 «Елементи векторної

алгебри».................................................................................................... 154

Варіанти тестових завдань до глави 3 «Аналітична геометрія» ........... 160

Питання до іспиту з вищої математики.................................................. 166

ДОДАТКИ................................................................................................ 169

Додаток 1. Основні формули лінійної алгебри ...................................... 169

Додаток 2. Основні формули векторної алгебри ................................... 177

Додаток 3. Основні формули аналітичної геометрії у просторі............ 174

Додаток 4. Основні формули аналітичної геометрії на площині.......... 178

Список літератури ................................................................................... 183